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全网信安数基相关资料真的是太少了,笔者在复习的时候也感觉到挺困难的。所以希望通过这篇文章帮助和我一样学习信安数基的朋友们更为高效和有针对性地复习。 顺带强调一下,本文章只适用于信安、网安相关专业同学们的信安数基考前复习。本文章没有提及的书上的公式、定理是相对不常考的,大家可以有选择性地复习。文章中标红和标*的部分是计算题、证明题常考的,大家可以着重记忆一下。有自己复习计划的同学可以根据目录跳转到相应的章节和考点进行复习。 本文章的考点是根据老师提供的考试复习提纲罗列的。另外,为了方便大家复习(不用再去翻书找),我把对应考点的典型例题都附在下面了。文章有点长,请大家耐心看完,相信会对大家的考试有一点帮助。 教材:《信息安全数学基础(第2版)》陈恭亮著 本文章涉及范围:第1章~第6章、第8章~第11章 放一张图片镇楼~ 不啰嗦了,咱们开始~ 第一部分:数论 第一章 整数的可除性 考点1:整数、因数、倍数的定义及其性质(传递性等) 考点2:素数、合数的定义、埃氏算法筛选合数的素数了解即可,可能会出判断题,占比不大。 考点3:带余除法(欧几里得算法)的计算,不完全商,余数的计算。最大公因数的定义、运用辗转相除法(广义欧几里得除法)及其算法列表求最大公因数。基本上必考,一定要会计算。例题: 这个考点其实是上面考点3的延申 关于课本上的列表法,我个人觉得挺难背的,而且那些字母的下标也容易背错,所以推荐大家直接利用贝祖等式来求解问题,虽然步骤可能繁琐一点但是不容易出错。下面是课本上的一道例题: 考试的时候大家就结合上面两道例题的求解步骤进行计算就好。求解过程要背下来。 计算完系数之后,推荐大家再把系数带进去验算一下(s*a+t*b是否等于求得的最大公因数),避免算错。 [a,b]*(a,b)=a*b 考点5:最小公倍数的定义,用最大公因数与最小公倍数的关系求最小公倍数最小公倍数的定义想必大家中小学阶段已经接触过了,就不再赘述了。这个考点可能会在填空题出现,让大家计算最小公倍数。 公式就下面这一个,考试的时候就这样求: (最小公倍数=两个数的乘积/最大公因数) 考点6:算术基本定理(素因子分解),利用素因子分解求最大公因数与最小公倍数填空题可能会考。大家学过C语言应该对素因子分解比较熟悉了。放一个例题帮助大家回忆一下: 这个考点涉及到的题型如下: 判断题:三大性质(自反、对称、传递)的判断。比较好理解。 填空题:利用乘法(降幂)计算较大数的mod运算 很经典的计算题,大家接触过奥数的话应该会比较熟悉。理解一下这道例题就好,如果考到通常也是类似的。 考点2:剩余类,完全剩余系、简化剩余系的定义定义题可能会考,大家理解一下这些定义的意思就行,不要记混了。我们来梳理一下: 剩余类:modm同余的整数的集合。 完全剩余系:有m个元素,两两不同余。 简化剩余系:在完全剩余系的基础上去掉和m不互素的元素。 填空题很可能会让大家写出某个数的完全剩余系。也可能会要求写出最小非负完全剩余系什么的,把下面这道例题涉及到的概念结合名字理解一下就行。 关于欧拉函数的定义,大家记住φ(m)=模m的简化剩余系的元素个数即可。欧拉函数后面也经常会用到。 利用标准因数分解式计算欧拉函数:设m,n是互素的两个正整数,则φ(m*n)=φ(m)φ(n)。大家在计算大合数的欧拉函数时可以利用这个公式来简化一下计算。(我在第一遍复习的时候就把这个公式忽略了(((φ(◎ロ◎;)φ))),大家一定要记得它呀) 考点4:欧拉定理、费马小定理欧拉定理后面很常用,要记住: 费马小定理不太会单独考,大家对它有个印象,后面素性检验的时候会更容易记忆。 注意:欧拉定理和费马小定理的条件不同,欧拉定理中m是整数,费马小定理中p是素数。 *考点5:用模重复平方法求解大数的模(重要,一定要会!)关于这个方法的原理书上写的比较清楚,原理如下,大家可以尝试理解一下,以便更好地记忆: 理解不了也没关系,大家把下面的例题的过程背会就行。 判断题:判断一个一次同余式是否有解。运用以下定理: 计算题:求解一次同余式 求解前一定要先判断是否有解。 书上定理3.1.3写的解的形式有点过于复杂了,其实就是 其中x0为特解,t=0,1,...,(a,m)-1。 上例题: 核心就是下面这个公式: 其实记住b1, M1, M1', m都是啥,然后会算就行了。 上例题: 注意:每个同余式mod的数之间一定是互素的。 第四章 二次同余式与平方剩余 考点1:二次同余式的基本概念,以及会用穷举法求解一般简单的二次同余式穷举法嘛,就是一个一个试。。。 比如mod 7的话就把x=1,2,3,4,5,6全部带进去试就行了。 其实还挺常用。。。 这里可能会结合中国剩余定理让大家求解,其实就是把mod的大合数拆分一下。例题: 用的不是很多,但它是后面许多定理的基础,需要有个印象。 考试可能会让大家判断一个二次同余式是否有解。 定义、性质都要记住,判断1,-1,2是否为模平方剩余的公式和二次互反律是重点 定义: 性质: 判断1,-1,2是否为模平方剩余(后面二次互反律需要用到) 二次互反律 这里的应用相对简单,就不放例题了,大家把公式记住就好。 考点4:雅可比符号(概念)及性质不常考,大家注意雅克比符号为−1, 可判断a是模m平方非剩余; 但雅克比符号为1, 却不能判断a是模m平方剩余 考点5:模p平方根以及模p平方根求解二次同余式求解过程确实太复杂了,基本上只能靠死记硬背过程。但由于过程复杂,考试也不经常考。大家可以有选择性地复习这个考点。 实在记不住咱就记得求解前要先判断有没有解,拿到咱能拿到的分。(ง •_•)ง 第五章 原根与指标这一章很重要!这一章里面有些概念在后面的近世代数中也有出现,而且考试通常会考。 考点1:指数、原根的概念,简化剩余系的列表计算概念是一切的基础,一定要记得。 列表计算: 填空题:求一共有多少个原根 计算题:求解原根 原理就是定理5.2.1和定理5.2.2: 建议大家尝试结合上面两个定理来理解下面例题的求解过程,理解不了的话直接背过程也可以。 这里我们浅浅埋个伏笔,这个求解过程后面第11章也会用到类似的。大家可以勾连一下,以便更好地记忆和理解。 *考点3:指标的概念以及利用指数求解较低次数的同余式概念题:很可能考指标的概念是什么 大家有没有发现这里的ind其实很像对数ln(不严谨,但是可以这样记忆一下概念) 计算题:求解较低次数的同余式 一定要先判断是否有解,有解的充要条件: 具体求解如下: 这一章最重要的就是概念。基本上和这章相关的所有题目都能通过概念解决。 考点1:伪素数定义、Carmichael数定义、Euler伪素数定义、强伪素数的定义。题目可能会问大家什么是xx数、判断某个数是不是xx数、证明某个数是xx数,总之就是用定义解就完了。 我把这些定义都放在一起,建议大家对比记忆一下。 伪素数和Carmichael数: 看到这里大家有没有觉得这两个定义的形式有点眼熟?是的,就是费马小定理的形式。也就是说,伪素数是n对某个数b满足费马小定理,Carmichael数是n对所有正整数都满足费马小定理。 有没有感觉好记了一点呀 Euler伪素数和强伪素数: 考试如果要考素性检测的话,考费马素性检测的可能性较大。大家记住它的基本思想和过程就行。 这一部分确实比较抽象...(((φ(◎ロ◎;)φ)))常考证明题。 重点在于概念的记忆和辨析。证明题大多也是基于基本概念要我们证明某个集合是群/环/域,或者证明正规子群、理想什么的。 PS:这部分考试不会考得太难。 第八章&第九章 群、群的结构由于这两章关联性较强,笔者把介绍概念的顺序稍做了些调整,希望能更加连贯,使读者更容易理解一些。 考点1:群的基本概念、性质及其证法群:满足封闭性、结合律、有单位元、可逆 半群:仅满足封闭性、结合律 交换群:在群的基础上满足交换性 证明的时候逐个验证就行 *注:群的运算不只有加、乘,只要是二元运算都可以作为群的运算。(这个点可能考判断题或证明题,判断一个集合关于某种运算是否构成一个群) 考点2:子群的基本概念、性质及其证法子群:群的子集,且仍构成一个群 证法1:用群的定义证明子集构成一个群。 证法2,利用判定定理: 性质:设m是有限群C的子群, 则子群m阶是|C|的因数。素数阶群的子群只有{e}和其本身 *考点3:循环群的生成、阶、生成元循环群和生成元的概念书上讲的比较抽象,但是考试和练习题中又经常出现。所以我们来理解一下这两个概念的意思。 对于集合 X,我们把可以看成“包含X的最小的群”。如果集合X为仅有一个元素a的集合,那么“包含a的最小的群”就是以a为生成元的,此时称这个群为循环群。 再推广到一般情况,那么集合 X 中的元素就是群 的生成元。 不知道我说明白了没有,有问题欢迎在评论区与我交流~ 循环群的相关定理大家可以有选择性地看一下,不常考。这里笔者就不大篇幅介绍了。 考点4:陪集、正规子群、商群的定义及其性质可能会考填空题、定义题、证明题。 陪集的定义: 商集的定义: 由定义可知,商集是所有陪集组成的集合。 正规子群的定义: 其中(ii)较为常用。 考点5:群同态、同构的定义及证明,群同态分解定理群同态、同构定义: 翻译一下,就是:f单射——单同态 f满射——满同态 f双射——同构 证明时套定义就行。 群同态分解定理: 这个考证明和考应用的可能性不大,记住就行。 考点6:置换群置换群如果考的话通常情况只会考一道计算题。大家把下面这道例题的过程方法背会就行: 这个计算题还是比较常考的,考到的话通常就是上面这道例题改个数。 第十章 环 考点1:环、整环、域基本概念我们在群的基础上讨论环的概念: 环:环是一个具有加法和乘法两种运算的代数系统,对于加法是一个交换群(满足封闭性、结合律、可逆、有单位元、交换性),对于乘法是半群(仅满足封闭性、结合律)。 在环的性质的基础上,讨论特殊的环: 乘法满足交换律——交换环 乘法有单位元——有单位元环 有单位元、无零因子的交换环——整环 对于乘法也构成交换群——域 整环和域的概念需要着重记忆一下,可能会考概念题、证明题。证明整环的时候要注意证明没有零因子。 考点2:环同态基本概念环同态就是对加法群和乘法群都满足同态。 考点3:理想和商环理想的概念(一定要记!经常考): 考试可能会考概念题,直接问你一个深刻的哲学问题——“什么是理想” 这里的生成元和群那里的生成元意思是一样的。主理想的概念大家可以类比循环群来记忆。 主理想环:R中所有理想都是主理想。 商环: 定理中的环R/I叫做R关于I构成的商环。 第十一章 多项式环 考点1:多项式整环的运算多项式整环在运算的时候就把它看成多项式就可以了。 *考点2:多项式欧几里得除法求解多项式的最大公因式、最小公倍式其实就是前面广义欧几里得除法的扩充,过程和思想跟广义欧几里得除法完全相同,求最大公因式和最小公倍式的过程也是一致的。 F2考的比较多,大家需要注意计算过程中出现的带2倍系数的项等同于0。 例题: 为方便理解,可以用合数类比可约多项式,素数类比不可约多项式。 判断一个多项式是不是不可约多项式,直接使用这个定理即可。 学有余力的话可以记忆一下4次及以下的不可约多项式。在考试时证明高次多项式不可约时用得到。 关于不可约多项式经常考下面这种题目: 大家运用下面这个定理就可以了: 也就是说,这类题目大家只需要证明f(x)是不可约多项式即可证明域。 例题: 我们先来看定义: 大家有没有觉得这个定义看着似曾相识? 这个定义和前面多项式的定义是完全相同的,换句话说,本原多项式就是多项式语境下的原根。 因此又有以下定理: 由此可以看出,求本原多项式时,利用原根那里的方法即可。 求本原多项式考的比较少,更多是让大家证明一个多项式是本原多项式,大家通过定义证明就可以。 希望同学们复习顺利~ |
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